lunes, 27 de abril de 2015
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Teniendo en cuenta el cambio de variable que se ha hecho para llegar a la fórmula de la ecuación general se cumple que un vector de dirección de la recta es
Asímismo un vector normal a la recta es
Halla la
ecuación general de la recta que pasa por P(-1,-4) y cuyo vector de dirección
es 
.
Como un vector de dirección es entonces 
.
La ecuación general será de la forma
.
Ahora imponemos que P pertenece a la recta sustituyendo sus componente en la ecuación
Luego la ecuación pedida es
.Como un vector de dirección es
entonces .La ecuación general será de la forma
.Ahora imponemos que P pertenece a la recta sustituyendo sus componente en la ecuación
Luego la ecuación pedida es
Consideremos
la recta 
. Halla la ecuación de la recta
perpendicular a r que pasa por el punto P(1,1).
Como la recta que buscamos es perpendicular a r, un vector normal a r
es un vector de dirección de la recta buscada. Por tanto 
siendo la ecuación de la
forma 
, ahora imponemos que pasa por P,
sustituyendo sus componentes en la ecuación 
La ecuación general de la recta perpendicular a r que pasa por P es
. Halla la ecuación de la recta
perpendicular a r que pasa por el punto P(1,1).Como la recta que buscamos es perpendicular a r, un vector normal a r
es un vector de dirección de la recta buscada. Por tanto siendo la ecuación de la
forma , ahora imponemos que pasa por P,
sustituyendo sus componentes en la ecuación La ecuación general de la recta perpendicular a r que pasa por P es
Para entrar en esta materia y para entender lo que significa la Ecuación
de la Recta es imprescindible estudiar, o al menos revisar, lo
referido a Geometría analítica y Plano cartesiano.
La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos
de la Geometría (como son también el punto y el plano).
La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en
una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal,
vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).
 |
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos
entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas
para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una
expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.
El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una
recta dada se denomina Ecuación de la Recta.
Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de
ropa para que sepan de su existencia pero expresada en términos matemátiicos
(como una ecuación).
Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la
representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado.
Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que
se conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente.
Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la
recta.
1.– Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.
De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para
determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un
plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas
(y).
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Recuerden que es imprescindible dominar
todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no
tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.
|
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin
excepción, quedan incluidas en la ecuación
Ax + By + C = 0
Que también puede escribirse como
ax + by + c = 0
y que se conoce como: la ecuación general de la línea
recta, como lo afirma el siguiente:
|
Teorema
La ecuación general de
primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a
los números reales(
  );
y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta. |
2.– Ecuación principal de la recta
Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.
Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar
lo siguiente:
Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede
representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de
la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada
(vertical).
(x, y) = (Abscisa , Ordenada)
Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por
ordenada 5.
Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice
que ese punto satisface la ecuación.
Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el
2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya
que al reemplazar queda
2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.
Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que
pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se
conoce, que se obtiene con la fórmula
y = mx + n
que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la
pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n), y es
conocida como ecuación principal de la recta (conocida también
como forma simplificada, como veremos luego).
Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que
aparecieron dos nuevas variables: la m y la n,
esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben
considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y
elpunto de intercepción (también llamado intercepto) en
el eje de las ordenadas (y).
 |
Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa
la pendiente de la recta y permite obtener su
grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa),
y n es el coeficiente de posición, el número
que señala el punto donde la recta interceptará al eje de
las ordenadas (y).
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al
eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la
fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la
recta de la forma
y − y1 = m(x − x1)
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se
la llama también forma explícita de la ecuación) y se utiliza
cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que
llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en
la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta
ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una
ecuación dada.
Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y
coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en
el punto (0, 7).
Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita,
como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier
recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la
pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto.
Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una
ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones
dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma
generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo
tanto, la bcorresponde al valor de n (el
intercepto en la ordenada y).
FUNSION LINEAL
FUNSION LINEAL
Introducción: Recordemos que
una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de
partida, llamadoDominio, y los elementos de un conjunto de llegada,
llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde
uno, y solo uno, en el codominio.
Definición: Una función lineal es
una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son
también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de
primer grado.
Definición f: R
—> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una
función lineal.
Este último renglón se lee: f de R
en R tal que f de equis es igual a a.x+b
Por ejemplo, son funciones
lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) =
-3x+7, h: h(x) = 4
Recordemos que los polinomios de
primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir
el exponente cuando este es 1.
Ejemplos de funciones
lineales: a(x) = 2x+7 b(x)
= -4x+3 f(x) = 2x + 5 + 7x - 3
De estas funciones, vemos que
la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir
términos semejantes para que la expresión quede de una forma mas
sencilla, f(x) = 9x + 2
Tambien recordemos que hemos
convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el
codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada
caso.
Por ejemplo, si hablamos de la
función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6,
anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los
números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.
Esto se lee " f de R en R tal
que f de x es igual a 2x-6"
Vamos a graficar esta función, que
tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer
grado. Para graficarla haremos una tabla de valores.
f: R ——> R / f(x) = 2x-6
Le vamos dando valores a
"x". ¿Que valores le podemos dar? Cualquiera que
este dentro del dominio.
Por ejemplo, si x = 5 , entonces
f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) =
2.(5)-6 f(5) = 4
Entonces al 5 le corresponde el
4. Nuestro punto es el (5,4).
f: R —> R / f(x)
= a.x+b
Una función lineal cumple además,
que el incremento de los valores de los elementos del dominio
es proporcional al incremento de los valores
en el codominio, siempre que a no sea cero.
Este número a se llama
pendiente o coeficiente angular de la recta.
Volvamos a esto ejemplos de
funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) =
-3x+7, h: h(x) = 4
f: f(x) = 2x+5 si x es
3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11
si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13
si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15
Cada vez que la x se
incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa
en 2 unidades.
Preste atención en que los valores
de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son
los incrementos.
g: g(x) = -3x+7 si x=
0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7
si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4
si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 =
-6+7 = 1
Cada vez que la x se
incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye
en 3 unidades.
h: h(x) =
4 si x=
0 , entonces h(0) = 4
si x= 98 , entonces h(98) = 4
Cada vez que la x se
incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es
la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.
¿Que diferencia fundamental y muy
importante hay entre las funciones h y j?
Parecería, a primera vista, que
son muy parecidas. Las "fórmulas" de ambas son iguales. h(x)=3 y
j(x)=3
Sin embargo, son muy distintas
porque mientras la función h tiene como dominio todos los números reales, la
función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos números
naturales consecutivos no hay ningún otro número natural, no existe gráfica ni
puntos entre ellos.
Esto es, entre el 17 y el 18 no
hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos número reales. He
ahí la diferencia.
La representación gráfica de h es
una linea recta, pero la de j son puntos aislados, aunque son infinitos.
Esto, por supuesto, ocurre no solo
si son funciones constantes. Es para cualquier función. El dominio es
muy importante.
Cuando no se especifíca
el dominio y codominio, se supone que son los mayores posibles. En el caso de
las funciones lineales, es de R en R.
Veamos otro ejemplo:
Esta
función, llamada q, ¿ será lineal ? Supongamos,
además, que es una función de R en R.
Para determinar esto tenemos que
ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son
proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón.
|
Dominio
x
|
Codominio
y
|
|
4
|
1
|
|
7
|
2
|
|
13
|
4
|
|
16
|
9
|
Dominio: de 4 a 7 aumenta en
3 Codominio:
de 1 a 2 aumenta en
1
Dominio: de 7 a 13 aumenta en
6 Codominio: de 2 a 4
aumenta en 2. Por ahora, parece que si
Dominio: de 13 a 16 aumenta en
3 Codominio: de 4 a 9 aumenta en
5 Se rompió la relación
Cada 3 unidades de aumento en x,
aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no esta de acuerdo con
esto. ¿Que número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea
una función lineal ?
Primero lo piensas y luego
toca el botón "lineal".
RESUMEN: Las funciones
lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresion
analítica es f: R —> R / f(x)
= a.x+b con a y b números reales.
La representación gráfica de dichas funciones
es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha
recta esta dada por la pendiente a y la ordenada en el origen
es b.
INICIO
Funciones
Conceptos de función
Dominio, codominio, recorrido y grafo de una función
Formas para representar una función
Funciones reales
Función lineal
Representación gráfica
Función afín
La recta
Pendiente de una recta
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